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与三角形有关的角教案

发布: 2015-11-18 |  作者: admin |  浏览:

  三角形是最常见的几何图形之一,在工农业生产和日常生活中都有广泛的应用.又因为三角形是多边形的一种,而且是最简单的多边形.在几何里,常常把多边形分割成若干个三角形,利用三角形的性质去研究多边形,也可以利用一系列的三角形去逼近它,从而利用三角形的性质去研究他们.因此对三角形性质的研究就显得十分重要.

  在小学已学习过三角形的内角的有关知识,知道三角形的内角和为180°,但是为什么是180°而不去研究.在这里要求学生掌握“三角形内角和定理”的证明及其简单应用,掌握三角形内角和定理的两个推论及其证明.在证明过程中通过一题多解、一题多变,初步体会思维的多向性,引导学生的个性化发展;由内角中的等量关系和外角中的不等关系,让学生体会相等与不等关系的简单证明.引导学生从内和外,相等和不等的不同角度对三角形作更全面的思考.

  在教学中,首先让学生动手操作,把三角形的三个内角拼合在一起,探索它们的和及其原因,然后互相交流各自的想法,并归纳总结出结论.再寻求多渠道、不同途径的解决问题的方法,使学生经历实验──思考──交流──总结──运用的过程.让他们不仅掌握知识点,还要知道为什么、做什么用,使学到的数学知识与实际生活联系起来.避免了数学的枯燥无味和脱离实际的现象,使数学真正运用到实际中去.

  教学课时

  三维目标

  一、知识与技能

  1.掌握“三角形内角和定理”的证明及其简单运用.

  2.掌握三角形的外角的定义,三角形内角和定理的两个推论及其证明;

  3.体会几何中不等关系的简单证明.

  二、过程与方法

  1.通过探索“三角形内角和定理”及其推论,培养学生的探索能力和实践操作能力;

  2.在学习了三角形的内角和外角后,能运用所学知识解决简单的问题,训练学生对所学知识的运用能力.

  三、情感态度与价值观

  1.通过让学生积极参与数学学习活动,培养学生对数学的好奇心与求知欲;

  2.由具体实例的引导,让学生初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用,体验数学活动充满着探索与研究.

  教学重点三角形内角和定理及推论.

  教学难点三角形内角和定理及推论的证明和运用.

  教具准备投影片三张:

  第一张(记作7.2A);第二张(7.2B);第三张(7.2C).

  教学过程

  一、创设问题情境,导入新课

  在小学我们已经知道三角形的内角和为180°,但究竟为什么是180°,我们没有去研究,本节课我们来回答这个问题.

  二、动手试一试,你会有收获

  活动1

  问题:

  在纸上画一个三角形,并将它的内角剪下,试着拼拼看,三个内角的和是否为180°?

  设计意图:

  旨在让学生亲身实验一下,对所研究的问题产生兴趣,激发好奇心和求知欲.通过亲身经历,体会从具体情景中发现教学问题.

  师生活动:

  让学生人人画一个三角形,并把三个角裁下来,拼在一起,让他们自己得出结论.

  生:三个角拼在一起,会得到一个180°的角.

  师:为什么是180°呢?

  生:因为三个角合起来形成一个平角,而平角等于180°,所以三个角的和为180°.

  师:大家得出的结论相同吗?你们画的三角形都一样吗?如果不一样,你能得出什么结论呢?

  生:我们互相交流一下,结论都是一样的,但所画的三角形并不完全一样,所以说明三角形三个内角的和与形状没有关系,只要是三角形,其内角和就一定为180°.

  师:大家回答得非常棒.但这只是实验,由观察与实验得到的结论,并不一定正确、可靠,这样就需要通过数学证明来验证,那么怎样证明呢?请同学们看投影片.

  (出示投影片7.2A)

  在图7.2-1(1)中,∠B和∠C分别拼在∠A的左右两侧,三个角合起来形成一个平角,出现一条过点A的直线L,移动后的∠B和∠C各有一条边在L上.想一想,L与△ABC的边BC有什么关系?由这个图你能想出说明三角形内角和等于180°这个结论正确的方法吗?

  请大家思考后再互相交流.

  生:因为移动后的∠C与未移动时的∠C相等,而他们又是内错角,由平行线的裁定可知,直线L与边BC平行,所以可以过△ABC的顶点A作直线L平行于△ABC的边BC,由平行线的性质与平角的定义可知∠A+∠B+∠C=180°.

  师:大家能写出证明过程吗?

  这是一个文字命题,证明时应先干什么呢?

  生:需要先画出图形,根据命题的条件和结论,结合图形写出已知、求证.

  师:下面请一位同学完整地写出过程.

  生:如图7.2-2,已知△ABC,求证:∠A+∠B+∠C=180°

  证明:过A作直线DE∥BC,

  ∴∠DAB=∠B,∠EAC=∠C.

  ∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°,

  ∴∠B+∠BAC+∠C=180°,

  即∠A+∠B+∠C=180°.

  师:再观察图7.2-2(2).辅助线的作法与图7.2-1(1)一样吗?证明方法相同吗?

  生:辅助线的作法不同.移动前的∠A和移动后的∠A相等,且是内错角的位置关系,可知直线L与边AB平行,同时移动前和移动后的∠B是同位角也应相等,所以三个角拼在一起构成了平角,故∠A+∠B+∠C=180°.

  师:能写出证明过程吗?

  生:已知、求证和上面相同.

  证明:如图7.2-3延长BC到D,过C作CE∥AB.

  ∴∠A=∠ACE;∠B=∠ECD.

  ∵∠ACE+∠ACB+∠ECD=180°,

  ∴∠A+∠ACB+∠B=180°,

  即∠A+∠B+∠C=180°.

  师:利用两直线平行,同旁内角互补怎样?课下讨论.从上面的两种证明方法中,大家能否找到它们的异同点?它们的思路是否一致呢?

  生:相同点是:都是把三角形的三个内角拼到一起,根据平角的定义,证明三角形的内角和是180°;不同的是:辅助线的作法不同,前者是过A点作边BC的平行线,后者是过C点作边AB的平行线.但不管是过三角形的哪一个顶点,作另一边的平行线,它们的思路基本一致,就是通过平行线,利用平行线的性质,通过同位角或内错角相等,把三个角都拼到一起,构成一个平角,从而得证.

  师:很好.大家的证明过程写的非常好,分析的非常棒,找到了解决问题的思路.根据思路,大家还能找到其他的证明方法吗?

  生:还可以这样作辅助线,如图7.2-4作CA的延长线AD,过点A作∠DAE=∠C,则AE∥BC,所以∠EAB=∠B.因为∠DAE+∠EAB+∠BAC=180°,故C+∠B+∠BAC=180°,即∠A+∠B+∠C=180°.

  师:大家做的非常好,前三种方法都是把三个角转移到三角形的一个顶点处.只要把它们拼到一起成为平角即可,那么是否可以转移到其他地方呢?请大家讨论.

  生:如图7.2-5,在BC上任取一点D,过点D作DE∥AB交AC于E,再过点D作DF∥AC交AB于F.

  ∵DE∥AB,

  ∴∠1=∠B,∠2=∠4.

  ∵DF∥AC,

  ∴∠3=∠C,∠4=∠A.

  ∴∠2=∠A.

  ∵∠1+∠2+∠3=180°.

  ∴∠A+∠B+∠C=180°.

  师:大家讨论的非常棒.可见大家已掌握了三角形内角和定理的证明,并能根据思路拓展,由于时间关系,我们不再继续了,在课后大家可以继续讨论有关问题,比如点在△ABC的内部?外部呢?

  活动2

  出示投影片7.2B.

  例:如图7.2-6,C岛在A岛的北偏东50°方向,B岛在A岛的北偏东80°方向,C岛在B岛的北偏西40°方向,从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度?

  师生活动:

  师:请大家先观察思考,题中出现的这些方位角,在图上分别指出.

  生:C岛在A岛的北偏东50°方向,指∠DAC=50°;B岛在A岛的北偏东80°方向,指∠DAB=80°;C岛在A岛的北偏西40°方向,指∠CBE=40°;要求的是∠AOB的度数.

  师:下面再讨论一下根据已知角,如果求出∠ACB的度数.

  生:要求∠ACB的度数,根据三角形内角和定理,需求出∠CAB和∠CBA的度数.而∠CAB=∠DAB-∠DAC=80°-50°=30°,∠CBA=90°-∠CBE=90°-40°=50°.所以∠ACB=180°-∠CAB-∠CBA=180°-30°-50°=100°.

  生:他做的不对,∠CBA不等于50°.因为∠EBA不是90°而是因为AD∥BE,∠DAB+∠ABE=180°.

  ∴∠ABE=180°-∠DAB=100°.

  ∴∠ABC=∠ABE-∠CBE=60°.

  ∴∠ACB=180°-30°-60°=90°.

  师:哪一位同学能把过程完整地写一下呢?

  生:解:∠CAB=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°.

  ∵AD∥BE,

  ∴∠BAD+∠ABE=180°.

  ∴∠ABE=180°-∠BAD=180°-80°=100°.

  ∴∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60°.

  在△ABC中.

  ∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=180°-60°-30°=90°.

  答:从C岛看A、B两岛的视角∠ACB=90°.

  师:大家看,过C点作AD的平行线CF,则AD∥CF∥BE,……往后课下完成.

  尝试反馈巩固练习

  (出示投影片7.2C)

  1.△ABC中,∠A=40°,∠B-∠C=30°.

  求∠B,∠C.

  2.△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:2.

  求∠A,∠B,∠C.

  3.在△ABC中,∠A+∠B=90°,∠C=2∠A.

  求∠A,∠B,∠C.

  4.如图7.2-7,在△ABC中,∠C=∠ABC=2∠A,BD是AB边上的高.

  求∠DBC的度数.

  设计意图:

  利用三角形内角和定理求某些角的度数.

  师生活动:

  生:1.解:∵∠A=40°,∠A+∠B+∠C=180°,

  ∴∠B+∠C=180°-∠A=140°.

  ∵∠B-∠C=30°,

  ∴∠B=∠C+30°,

  ∴∠C+30°+∠C=140°.

  ∴∠C=55°,∠B=85°.

  2.解:∵∠A:∠B:∠C=1:2:2,

  ∴设∠A=x°,∠B=∠C=2x°.

  ∵∠A+∠B+∠C=180°,

  ∴5x°=180°,

  ∴x=36°.

  ∴∠A=36°,∠B=∠C=72°.

  3.解:∵∠A+∠B=80°,

  ∴∠C=180°-80°=100°.

  ∵∠C=2∠A,∴∠A= ∠C=50°,

  ∴∠B=180°-∠A-∠B=30°.

  4.解:∵∠C=∠ABC=2∠A.

  ∴∠A=36°,∠C=72°.

  ∵BD⊥DC,∴∠BDC=90°.

  ∴∠DBC=180°-∠BDC-∠C=180°-90°-72°=18°.

  活动3

  问题:

  探究三角形外角的定义,外角与不相邻内角间的关系.

  设计意图:

  旨在掌握三角形外角的定义的基础上,利用三角形内角和定理,推导出外角与不相邻内角间的关系.

  师生活动:

  师:前面我们学习了三角形的内角,也称为三角形的角,还掌握了内角和定理,下面我们来探究一下三角形的外角.

  生:顾名思义,三角形的内角是三角形内部的角,那么三角形的外角就是三角形外部的角.如图7.2-8,∠BAC、∠B、∠C是三角形的内角,∠BAE、∠CAD、∠EAD是三角形外部的角,称为三角形的外角.

  师:这位同学的分析似乎有道理,大家认为怎么样?小组讨论后交流.

  生:不正确,不能这样想当然.外角不是外部的角,而是三角形的一边与另一边的延长线组成的角,如∠DAC、∠EAB、∠DAE虽然在三角形的外部,但它的两边都是三角形的延长线,不符合外角的定义,所以它不是外角.

  师:这位同学说出了外角应具备的条件:①角的顶点是三角形的顶点;②角的一边是三角形的一边;③另一边是三角形中一边的延长线,那么在上面的图7.2-8中,满足条件的角(外角)是否只有∠DAC和∠EAB呢?请大家思考后作答.

  生:不是.在三角形每个顶点处都有两个外角,所以一个三角形有6个外角,而且同一顶点处的两个外角是对顶角,应该相等.

  师:大家的分析很详细.那么这些外角与内角之间有没有关系,如果有,存在什么关系呢?将是下面我们要解决的问题.

  如图7.2-9,△ABC中,∠A=70°,∠B=60°.∠ACD是△ABC的一个外角.能由∠A,∠B求出∠ACD吗?如果能,∠ACD与∠A,∠B有什么关系?你能进一步说明任意一个三角形的一个外角与它不相邻的两个内角有什么关系吗?

  生:∵∠A+∠B+∠ACB=180°,

  ∠ACB+∠ACD=180°.

  ∴∠ACD=∠A+∠B=130°.

  所以三角形的一个外角等于两个内角的和.

  师:根据刚才这位同学的逻辑,那么∠ACD=∠A+∠ACB,∠ACD=∠B+∠ACB成立吗?

  生:不成立.

  再如图7.2-10,∠A=30°,∠B=40°.则∠ACB=110°.因为∠ACB+∠ACD=180°,所以∠ACD=70°.那么∠ACD=∠A+∠ACB成立吗?

  生:不成立.

  师:为什么呢?那刚才的结论成立吗?

  生:不成立.在上图中有结论∠ACD=∠A+∠B,本题中有∠ACD=∠A+∠B.而∠A,∠B与∠ACD不相邻,所以上面的结论应改为:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.

  师:那么外角与其中一个不相邻的内角之间的关系呢?

  生:因为两个角的和等于外角,所以外角应大于其中任何一个内角.

  师:由此可知三角形内角和定理的推论.

  1.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.

  2.三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.

  尝试反馈巩固练习

  1.已知:如图7.2-11,∠BAF,∠CBD,∠ACE是△ABC的三个外角.

  求证:∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°.

  设计意图:

  巩固三角形内角和及其推论.

  师生活动:

  生:证明:∵∠BAF=∠2+∠3,

  ∠CBD=∠1+∠3,∠ACE=∠1+∠2,

  ∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2(∠1+∠2+∠3).

  ∵∠1+∠2+∠3=180°.

  ∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°.

  2.已知:如图7.2-12,在△ABC中,∠1是它的一个外角,E为边AC上一点,延长BC到D,连结DE.求证:∠1>∠2.

  设计意图:

  体会几何中不等关系的简单证明.

  师生活动:

  证明:∵∠1是△ABC的外角,

  ∴∠1>∠3.

  ∵∠3是△DCE的外角,

  ∴∠3>∠2,

  ∴∠1>∠2.

  三、课时小结

  本节课共同探索了三角形内角和定理及推论的证明,基本思想是:把三个内角拼在一起,拼成一个平角;熟练掌握三角形内角和及外角和定理;理解三角形外角的性质,并能解简单问题.

  板书设计

  7.2与三角形有关的角

  活动一(探究三角形内角和)

  活动二(例题讲解)

  活动三(探究三角形的外角与不相邻的内角间的关系)

  活动与探究

  在前面讨论三角形内角和定理的证明时,证明的思路是把三角形的三个角拼到一起,构成一个平角,根据平角的定义得证.可以把三个角“凑”到一个顶点处,也可以把三角形“凑”到一边上,那么能否把三个角“凑”到三角形的内部和外部呢?

  如下图:

  过P点分别作三边的平行线ST、MN、QR.

  在左上图中,∠A=∠QST=∠SPN,∠B=∠SQP=∠NPR,

  ∠C=∠NRP=∠SPQ,

  ∵∠SPN+∠NPR+∠SPQ=180°,

  ∴∠A+∠B+∠C=180°.

  在右上图中,∠A+∠ATS=∠SPN,∠B=∠1=∠NPR,∠C=∠2=∠SPQ.

  ∵∠SPN+∠NPR+∠SPQ=180°,

  ∴∠A+∠B+∠C=180°.

  以上几种证法,都是在把三角形的三个内角剪下拼在一起,构成一个平角的实验基础上产生的.特别是添加了辅助线,构造出了新图形,形成了新的关系,把未知数化成已知.下面这一种证法十分有趣,不直接从内角的角度考虑问题,而是从外角入手,应用了运动的观点来解决问题.

  一个人沿着一个三角形广场绕圈跑步,设他站在AB边上任意一点P处,面向B点前进,到达B点向左移动一个角度∠1,面向C点前面,到达C点后向左再转动一个角度∠2,再面向A点前进,到达A点后再向左转动一个角度∠3,最后又回到P点,仍面向B点站立,则他在这个过程中共转了一周,即∠1+∠2+∠3=360°.

  证明:∵∠1=180°-∠ABC,

  ∠2=180°-∠ACB,∠3=180°-∠BAC,

  ∴∠1+∠2+∠3=540°-(∠ABC+∠ACB+∠BAC)=360°.

  ∴∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°.

  习题详解

  习题7.2

  1.(1)x=45;(2)x=60;(3)x=60;(4)x=30.

  2.(1)三角形中最多有一个直角,如果一个三角形有两个是直角,那么三角形内角和大于180°,这个结果与三角形内角和等于180°矛盾,所以一个三角形最多有一个直角.

  (2)一个三角形最多有一个钝角.如果一个三角形有两个角是钝角,那么三角形的内角和大于180°.这个结果与三角形的内角和等于180°矛盾,所以一个三角形最多有一个钝角.

  (3)直角三角形的外角不是锐角.如果直角三角形的外角是锐角,那么与它相邻的内角是钝角,这时,直角三角形内角和大于180°,这个结果与三角形内角和180°矛盾,所以直角三角形外角不是锐角.

  3.设∠A=x°,则∠B=x°+10°,∠C=∠B+10°=x°+10°+10°=x°+20°,由∠A+∠B+∠C=180°得

  x+(x+10)+(x+20)=180.

  解这个方程得x=50.

  所以∠A=50°,∠B=60°,∠C=70°.

  4.解法一:由AD⊥BC可得,∠ADB=90°,

  由∠1+∠2=90°,∠1=∠2可得∠2=45°.

  由∠BAC+∠2+∠C=180°可得

  ∠BAC=180°-∠2-∠C=180°-45°-65°=70°.

  解法二:由AD⊥BC可得,

  ∠ADC=90°,因此∠DAC+∠C=90°,由此可得∠DAC=25°.

  由∠1+∠2=90°,∠1=∠2可得∠1=45°.

  所以∠BAC=∠1+∠DAC=45°+25°=70°.

  5.由AB∥CD可得,∠1=∠A=40°.

  ∠2=∠1+∠D=45°+40°=85°.

  6.∠C=22.5°.

  提示:由∠C+∠E=45°,∠C=∠E可得.

  7.∠ACB=85°.提示:∠ABC=80°-45°=35°.

  8.180°,90°,180°,90°.

  9.解法一:由∠BAE,∠CBF,∠ACD是△ABC的三个外角可得

  ∠BAE=180°-∠BAC,∠CBF=180°-∠ABC,∠ACD=180°-∠ACB.

  因此,∠BAE+∠CBF+∠ACD

  =180°-∠BAC+180°-∠ABC+180°-∠ACB

  =540°-(∠BAC+∠ABC+∠ACB)

  =540°-180°=360°.

  解法二:由∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角可得

  ∠BAE=∠ABC+∠ACB,

  ∠CBF=∠BAC+∠ACB,

  ∠ACD=∠ABC+∠BAC.

  因此,∠BAE+∠CBF+∠ACD

  =2(∠BAC+∠ABC+∠ACB)=2×180°=3

  三角形是最常见的几何图形之一,在工农业生产和日常生活中都有广泛的应用.又因为三角形是多边形的一种,而且是最简单的多边形.在几何里,常常把多边形分割成若干个三角形,利用三角形的性质去研究多边形,也可以利用一系列的三角形去逼近它,从而利用三角形的性质去研究他们.因此对三角形性质的研究就显得十分重要.

  在小学已学习过三角形的内角的有关知识,知道三角形的内角和为180°,但是为什么是180°而不去研究.在这里要求学生掌握“三角形内角和定理”的证明及其简单应用,掌握三角形内角和定理的两个推论及其证明.在证明过程中通过一题多解、一题多变,初步体会思维的多向性,引导学生的个性化发展;由内角中的等量关系和外角中的不等关系,让学生体会相等与不等关系的简单证明.引导学生从内和外,相等和不等的不同角度对三角形作更全面的思考.

  在教学中,首先让学生动手操作,把三角形的三个内角拼合在一起,探索它们的和及其原因,然后互相交流各自的想法,并归纳总结出结论.再寻求多渠道、不同途径的解决问题的方法,使学生经历实验──思考──交流──总结──运用的过程.让他们不仅掌握知识点,还要知道为什么、做什么用,使学到的数学知识与实际生活联系起来.避免了数学的枯燥无味和脱离实际的现象,使数学真正运用到实际中去.

  教学课时

  三维目标

  一、知识与技能

  1.掌握“三角形内角和定理”的证明及其简单运用.

  2.掌握三角形的外角的定义,三角形内角和定理的两个推论及其证明;

  3.体会几何中不等关系的简单证明.

  二、过程与方法

  1.通过探索“三角形内角和定理”及其推论,培养学生的探索能力和实践操作能力;

  2.在学习了三角形的内角和外角后,能运用所学知识解决简单的问题,训练学生对所学知识的运用能力.

  三、情感态度与价值观

  1.通过让学生积极参与数学学习活动,培养学生对数学的好奇心与求知欲;

  2.由具体实例的引导,让学生初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用,体验数学活动充满着探索与研究.

  教学重点三角形内角和定理及推论.

  教学难点三角形内角和定理及推论的证明和运用.

  教具准备投影片三张:

  第一张(记作7.2A);第二张(7.2B);第三张(7.2C).

  教学过程

  一、创设问题情境,导入新课

  在小学我们已经知道三角形的内角和为180°,但究竟为什么是180°,我们没有去研究,本节课我们来回答这个问题.

  二、动手试一试,你会有收获

  活动1

  问题:

  在纸上画一个三角形,并将它的内角剪下,试着拼拼看,三个内角的和是否为180°?

  设计意图:

  旨在让学生亲身实验一下,对所研究的问题产生兴趣,激发好奇心和求知欲.通过亲身经历,体会从具体情景中发现教学问题.

  师生活动:

  让学生人人画一个三角形,并把三个角裁下来,拼在一起,让他们自己得出结论.

  生:三个角拼在一起,会得到一个180°的角.

  师:为什么是180°呢?

  生:因为三个角合起来形成一个平角,而平角等于180°,所以三个角的和为180°.

  师:大家得出的结论相同吗?你们画的三角形都一样吗?如果不一样,你能得出什么结论呢?

  生:我们互相交流一下,结论都是一样的,但所画的三角形并不完全一样,所以说明三角形三个内角的和与形状没有关系,只要是三角形,其内角和就一定为180°.

  师:大家回答得非常棒.但这只是实验,由观察与实验得到的结论,并不一定正确、可靠,这样就需要通过数学证明来验证,那么怎样证明呢?请同学们看投影片.

  (出示投影片7.2A)

  在图7.2-1(1)中,∠B和∠C分别拼在∠A的左右两侧,三个角合起来形成一个平角,出现一条过点A的直线L,移动后的∠B和∠C各有一条边在L上.想一想,L与△ABC的边BC有什么关系?由这个图你能想出说明三角形内角和等于180°这个结论正确的方法吗?

  请大家思考后再互相交流.

  生:因为移动后的∠C与未移动时的∠C相等,而他们又是内错角,由平行线的裁定可知,直线L与边BC平行,所以可以过△ABC的顶点A作直线L平行于△ABC的边BC,由平行线的性质与平角的定义可知∠A+∠B+∠C=180°.

  师:大家能写出证明过程吗?

  这是一个文字命题,证明时应先干什么呢?

  生:需要先画出图形,根据命题的条件和结论,结合图形写出已知、求证.

  师:下面请一位同学完整地写出过程.

  生:如图7.2-2,已知△ABC,求证:∠A+∠B+∠C=180°

  证明:过A作直线DE∥BC,

  ∴∠DAB=∠B,∠EAC=∠C.

  ∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°,

  ∴∠B+∠BAC+∠C=180°,

  即∠A+∠B+∠C=180°.

  师:再观察图7.2-2(2).辅助线的作法与图7.2-1(1)一样吗?证明方法相同吗?

  生:辅助线的作法不同.移动前的∠A和移动后的∠A相等,且是内错角的位置关系,可知直线L与边AB平行,同时移动前和移动后的∠B是同位角也应相等,所以三个角拼在一起构成了平角,故∠A+∠B+∠C=180°.

  师:能写出证明过程吗?

  生:已知、求证和上面相同.

  证明:如图7.2-3延长BC到D,过C作CE∥AB.

  ∴∠A=∠ACE;∠B=∠ECD.

  ∵∠ACE+∠ACB+∠ECD=180°,

  ∴∠A+∠ACB+∠B=180°,

  即∠A+∠B+∠C=180°.

  师:利用两直线平行,同旁内角互补怎样?课下讨论.从上面的两种证明方法中,大家能否找到它们的异同点?它们的思路是否一致呢?

  生:相同点是:都是把三角形的三个内角拼到一起,根据平角的定义,证明三角形的内角和是180°;不同的是:辅助线的作法不同,前者是过A点作边BC的平行线,后者是过C点作边AB的平行线.但不管是过三角形的哪一个顶点,作另一边的平行线,它们的思路基本一致,就是通过平行线,利用平行线的性质,通过同位角或内错角相等,把三个角都拼到一起,构成一个平角,从而得证.

  师:很好.大家的证明过程写的非常好,分析的非常棒,找到了解决问题的思路.根据思路,大家还能找到其他的证明方法吗?

  生:还可以这样作辅助线,如图7.2-4作CA的延长线AD,过点A作∠DAE=∠C,则AE∥BC,所以∠EAB=∠B.因为∠DAE+∠EAB+∠BAC=180°,故C+∠B+∠BAC=180°,即∠A+∠B+∠C=180°.

  师:大家做的非常好,前三种方法都是把三个角转移到三角形的一个顶点处.只要把它们拼到一起成为平角即可,那么是否可以转移到其他地方呢?请大家讨论.

  生:如图7.2-5,在BC上任取一点D,过点D作DE∥AB交AC于E,再过点D作DF∥AC交AB于F.

  ∵DE∥AB,

  ∴∠1=∠B,∠2=∠4.

  ∵DF∥AC,

  ∴∠3=∠C,∠4=∠A.

  ∴∠2=∠A.

  ∵∠1+∠2+∠3=180°.

  ∴∠A+∠B+∠C=180°.

  师:大家讨论的非常棒.可见大家已掌握了三角形内角和定理的证明,并能根据思路拓展,由于时间关系,我们不再继续了,在课后大家可以继续讨论有关问题,比如点在△ABC的内部?外部呢?

  活动2

  出示投影片7.2B.

  例:如图7.2-6,C岛在A岛的北偏东50°方向,B岛在A岛的北偏东80°方向,C岛在B岛的北偏西40°方向,从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度?

  师生活动:

  师:请大家先观察思考,题中出现的这些方位角,在图上分别指出.

  生:C岛在A岛的北偏东50°方向,指∠DAC=50°;B岛在A岛的北偏东80°方向,指∠DAB=80°;C岛在A岛的北偏西40°方向,指∠CBE=40°;要求的是∠AOB的度数.

  师:下面再讨论一下根据已知角,如果求出∠ACB的度数.

  生:要求∠ACB的度数,根据三角形内角和定理,需求出∠CAB和∠CBA的度数.而∠CAB=∠DAB-∠DAC=80°-50°=30°,∠CBA=90°-∠CBE=90°-40°=50°.所以∠ACB=180°-∠CAB-∠CBA=180°-30°-50°=100°.

  生:他做的不对,∠CBA不等于50°.因为∠EBA不是90°而是因为AD∥BE,∠DAB+∠ABE=180°.

  ∴∠ABE=180°-∠DAB=100°.

  ∴∠ABC=∠ABE-∠CBE=60°.

  ∴∠ACB=180°-30°-60°=90°.

  师:哪一位同学能把过程完整地写一下呢?

  生:解:∠CAB=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°.

  ∵AD∥BE,

  ∴∠BAD+∠ABE=180°.

  ∴∠ABE=180°-∠BAD=180°-80°=100°.

  ∴∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60°.

  在△ABC中.

  ∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=180°-60°-30°=90°.

  答:从C岛看A、B两岛的视角∠ACB=90°.

  师:大家看,过C点作AD的平行线CF,则AD∥CF∥BE,……往后课下完成.

  尝试反馈巩固练习

  (出示投影片7.2C)

  1.△ABC中,∠A=40°,∠B-∠C=30°.

  求∠B,∠C.

  2.△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:2.

  求∠A,∠B,∠C.

  3.在△ABC中,∠A+∠B=90°,∠C=2∠A.

  求∠A,∠B,∠C.

  4.如图7.2-7,在△ABC中,∠C=∠ABC=2∠A,BD是AB边上的高.

  求∠DBC的度数.

  设计意图:

  利用三角形内角和定理求某些角的度数.

  师生活动:

  生:1.解:∵∠A=40°,∠A+∠B+∠C=180°,

  ∴∠B+∠C=180°-∠A=140°.

  ∵∠B-∠C=30°,

  ∴∠B=∠C+30°,

  ∴∠C+30°+∠C=140°.

  ∴∠C=55°,∠B=85°.

  2.解:∵∠A:∠B:∠C=1:2:2,

  ∴设∠A=x°,∠B=∠C=2x°.

  ∵∠A+∠B+∠C=180°,

  ∴5x°=180°,

  ∴x=36°.

  ∴∠A=36°,∠B=∠C=72°.

  3.解:∵∠A+∠B=80°,

  ∴∠C=180°-80°=100°.

  ∵∠C=2∠A,∴∠A= ∠C=50°,

  ∴∠B=180°-∠A-∠B=30°.

  4.解:∵∠C=∠ABC=2∠A.

  ∴∠A=36°,∠C=72°.

  ∵BD⊥DC,∴∠BDC=90°.

  ∴∠DBC=180°-∠BDC-∠C=180°-90°-72°=18°.

  活动3

  问题:

  探究三角形外角的定义,外角与不相邻内角间的关系.

  设计意图:

  旨在掌握三角形外角的定义的基础上,利用三角形内角和定理,推导出外角与不相邻内角间的关系.

  师生活动:

  师:前面我们学习了三角形的内角,也称为三角形的角,还掌握了内角和定理,下面我们来探究一下三角形的外角.

  生:顾名思义,三角形的内角是三角形内部的角,那么三角形的外角就是三角形外部的角.如图7.2-8,∠BAC、∠B、∠C是三角形的内角,∠BAE、∠CAD、∠EAD是三角形外部的角,称为三角形的外角.

  师:这位同学的分析似乎有道理,大家认为怎么样?小组讨论后交流.

  生:不正确,不能这样想当然.外角不是外部的角,而是三角形的一边与另一边的延长线组成的角,如∠DAC、∠EAB、∠DAE虽然在三角形的外部,但它的两边都是三角形的延长线,不符合外角的定义,所以它不是外角.

  师:这位同学说出了外角应具备的条件:①角的顶点是三角形的顶点;②角的一边是三角形的一边;③另一边是三角形中一边的延长线,那么在上面的图7.2-8中,满足条件的角(外角)是否只有∠DAC和∠EAB呢?请大家思考后作答.

  生:不是.在三角形每个顶点处都有两个外角,所以一个三角形有6个外角,而且同一顶点处的两个外角是对顶角,应该相等.

  师:大家的分析很详细.那么这些外角与内角之间有没有关系,如果有,存在什么关系呢?将是下面我们要解决的问题.

  如图7.2-9,△ABC中,∠A=70°,∠B=60°.∠ACD是△ABC的一个外角.能由∠A,∠B求出∠ACD吗?如果能,∠ACD与∠A,∠B有什么关系?你能进一步说明任意一个三角形的一个外角与它不相邻的两个内角有什么关系吗?

  生:∵∠A+∠B+∠ACB=180°,

  ∠ACB+∠ACD=180°.

  ∴∠ACD=∠A+∠B=130°.

  所以三角形的一个外角等于两个内角的和.

  师:根据刚才这位同学的逻辑,那么∠ACD=∠A+∠ACB,∠ACD=∠B+∠ACB成立吗?

  生:不成立.

  再如图7.2-10,∠A=30°,∠B=40°.则∠ACB=110°.因为∠ACB+∠ACD=180°,所以∠ACD=70°.那么∠ACD=∠A+∠ACB成立吗?

  生:不成立.

  师:为什么呢?那刚才的结论成立吗?

  生:不成立.在上图中有结论∠ACD=∠A+∠B,本题中有∠ACD=∠A+∠B.而∠A,∠B与∠ACD不相邻,所以上面的结论应改为:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.

  师:那么外角与其中一个不相邻的内角之间的关系呢?

  生:因为两个角的和等于外角,所以外角应大于其中任何一个内角.

  师:由此可知三角形内角和定理的推论.

  1.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.

  2.三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.

  尝试反馈巩固练习

  1.已知:如图7.2-11,∠BAF,∠CBD,∠ACE是△ABC的三个外角.

  求证:∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°.

  设计意图:

  巩固三角形内角和及其推论.

  师生活动:

  生:证明:∵∠BAF=∠2+∠3,

  ∠CBD=∠1+∠3,∠ACE=∠1+∠2,

  ∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2(∠1+∠2+∠3).

  ∵∠1+∠2+∠3=180°.

  ∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°.

  2.已知:如图7.2-12,在△ABC中,∠1是它的一个外角,E为边AC上一点,延长BC到D,连结DE.求证:∠1>∠2.

  设计意图:

  体会几何中不等关系的简单证明.

  师生活动:

  证明:∵∠1是△ABC的外角,

  ∴∠1>∠3.

  ∵∠3是△DCE的外角,

  ∴∠3>∠2,

  ∴∠1>∠2.

  三、课时小结

  本节课共同探索了三角形内角和定理及推论的证明,基本思想是:把三个内角拼在一起,拼成一个平角;熟练掌握三角形内角和及外角和定理;理解三角形外角的性质,并能解简单问题.

  板书设计

  7.2与三角形有关的角

  活动一(探究三角形内角和)

  活动二(例题讲解)

  活动三(探究三角形的外角与不相邻的内角间的关系)

  活动与探究

  在前面讨论三角形内角和定理的证明时,证明的思路是把三角形的三个角拼到一起,构成一个平角,根据平角的定义得证.可以把三个角“凑”到一个顶点处,也可以把三角形“凑”到一边上,那么能否把三个角“凑”到三角形的内部和外部呢?

  如下图:

  过P点分别作三边的平行线ST、MN、QR.

  在左上图中,∠A=∠QST=∠SPN,∠B=∠SQP=∠NPR,

  ∠C=∠NRP=∠SPQ,

  ∵∠SPN+∠NPR+∠SPQ=180°,

  ∴∠A+∠B+∠C=180°.

  在右上图中,∠A+∠ATS=∠SPN,∠B=∠1=∠NPR,∠C=∠2=∠SPQ.

  ∵∠SPN+∠NPR+∠SPQ=180°,

  ∴∠A+∠B+∠C=180°.

  以上几种证法,都是在把三角形的三个内角剪下拼在一起,构成一个平角的实验基础上产生的.特别是添加了辅助线,构造出了新图形,形成了新的关系,把未知数化成已知.下面这一种证法十分有趣,不直接从内角的角度考虑问题,而是从外角入手,应用了运动的观点来解决问题.

  一个人沿着一个三角形广场绕圈跑步,设他站在AB边上任意一点P处,面向B点前进,到达B点向左移动一个角度∠1,面向C点前面,到达C点后向左再转动一个角度∠2,再面向A点前进,到达A点后再向左转动一个角度∠3,最后又回到P点,仍面向B点站立,则他在这个过程中共转了一周,即∠1+∠2+∠3=360°.

  证明:∵∠1=180°-∠ABC,

  ∠2=180°-∠ACB,∠3=180°-∠BAC,

  ∴∠1+∠2+∠3=540°-(∠ABC+∠ACB+∠BAC)=360°.

  ∴∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°.

  习题详解

  习题7.2

  1.(1)x=45;(2)x=60;(3)x=60;(4)x=30.

  2.(1)三角形中最多有一个直角,如果一个三角形有两个是直角,那么三角形内角和大于180°,这个结果与三角形内角和等于180°矛盾,所以一个三角形最多有一个直角.

  (2)一个三角形最多有一个钝角.如果一个三角形有两个角是钝角,那么三角形的内角和大于180°.这个结果与三角形的内角和等于180°矛盾,所以一个三角形最多有一个钝角.

  (3)直角三角形的外角不是锐角.如果直角三角形的外角是锐角,那么与它相邻的内角是钝角,这时,直角三角形内角和大于180°,这个结果与三角形内角和180°矛盾,所以直角三角形外角不是锐角.

  3.设∠A=x°,则∠B=x°+10°,∠C=∠B+10°=x°+10°+10°=x°+20°,由∠A+∠B+∠C=180°得

  x+(x+10)+(x+20)=180.

  解这个方程得x=50.

  所以∠A=50°,∠B=60°,∠C=70°.

  4.解法一:由AD⊥BC可得,∠ADB=90°,

  由∠1+∠2=90°,∠1=∠2可得∠2=45°.

  由∠BAC+∠2+∠C=180°可得

  ∠BAC=180°-∠2-∠C=180°-45°-65°=70°.

  解法二:由AD⊥BC可得,

  ∠ADC=90°,因此∠DAC+∠C=90°,由此可得∠DAC=25°.

  由∠1+∠2=90°,∠1=∠2可得∠1=45°.

  所以∠BAC=∠1+∠DAC=45°+25°=70°.

  5.由AB∥CD可得,∠1=∠A=40°.

  ∠2=∠1+∠D=45°+40°=85°.

  6.∠C=22.5°.

  提示:由∠C+∠E=45°,∠C=∠E可得.

  7.∠ACB=85°.提示:∠ABC=80°-45°=35°.

  8.180°,90°,180°,90°.

  9.解法一:由∠BAE,∠CBF,∠ACD是△ABC的三个外角可得

  ∠BAE=180°-∠BAC,∠CBF=180°-∠ABC,∠ACD=180°-∠ACB.

  因此,∠BAE+∠CBF+∠ACD

  =180°-∠BAC+180°-∠ABC+180°-∠ACB

  =540°-(∠BAC+∠ABC+∠ACB)

  =540°-180°=360°.

  解法二:由∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角可得

  ∠BAE=∠ABC+∠ACB,

  ∠CBF=∠BAC+∠ACB,

  ∠ACD=∠ABC+∠BAC.

  因此,∠BAE+∠CBF+∠ACD

  =2(∠BAC+∠ABC+∠ACB)=2×180°=360°.

  60°.

本文标题:与三角形有关的角教案 原文链接:http://www.tignas.com/article/32.html

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